まずAndroid端末でスクリーンショット撮ることが出来る機種ですが、Android4.0以降の機種が対象です。
Android端末でのスクリーンショットを撮る方法ですが、 音量下ボタンと電源ボタンを同時に長押しします。（2秒程度長押しすると撮りやすい。）
これで撮ることが可能です。

例外として、サムスン製のGALAXYではホームボタンと電源ボタン長押しで撮ることができます。
手刀と呼ばれる方法で、画面に手刀を当てて、横にスライドさせて撮る方法もあります。 
手刀スクリーンショット動画。 
上に動画を載せておきましたので、良かったら参考にして下さい。

一方iOS端末ですが、撮れる機種はiPod touch、iPhone、iPadです。
バージョンは関係なくほぼすべてで撮ることが可能です。
撮り方ですが、こちらも電源ボタンとホームボタンを長押しすることで撮ることができます。


撮った後の画像はAndroid端末ではギャラリー、ピクチャアルバムなどで見ることができます。
iOSの端末は写真というところに入っています。
そちらで確認して下さい。
 

どちらの端末も撮ったファイルはPngファイルとなります。
掲示板に載せたい場合はjpegファイルでないとダメな場所があるので、注意して下さい。
iPhoneでは自分宛にメールを送信すれば自動的にjpgファイルになり送信されるので、そちらを有効活用するといいでしょう。
Android端末ではアプリなどで変換して下さい。
僕はこのアプリで変換しています。
Resize Lite  
こちらを使う場合は設定の出力設定→フォーマットをJPGにしてから読み込み出力して変換して下さい。
わからないことがあれば気軽にコメント等どうぞ！